Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2012/13

Ikosaeder

Wegen zu geringer Teilnehmeranzahl muss das Seminar dies Semester leider entfallen

(VAK: 03-472)

Ankündigung: (als pdf)

Das Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik und Technomathematik ab dem fünften Semester.

Im kommenden WS wollen wir die Zusammenhänge zwischen Gleichungen 5. Grades, dem Ikosaeder und der alternierenden Gruppe A5 studieren. Das ist ein ganz klassischer Gegenstand und das Thema des „Ikosaederbuchs“ von Felix Klein, eine moderne Darstellung findet sich in:

J. Shurman:

„The Geometry of the Quintic“
J. Wiley & Sons 1997

Im Seminar werden nur geringe Vorkenntnisse vorausgesetzt: Algebra und ein wenig komplexe Analysis im Umfang der Standardvorlesungen.

Im letzten Drittel des WS wenden wir uns einer neueren Entwicklung zu, der Lösung von Gleichungen durch Iterationsverfahren nach McMullen. Dazu werden wir uns Einiges aus der Theorie der dynamischen Systeme aneignen müssen.

Literatur:

F. Klein:

„Vorlesungen über das Ikosaeder“
Birkhäuser, Teubner 1993

C. McMullen:

„Families of rational maps and iterative root-finding algorithms“
in: Annals of Math 125 (1987), S. 467-493

P. Doyle, C. McMullen:

„Solving the quintic by iteration“
in: Acta Math 163 (1989), S. 151-180

J.-P. Serre:

„Extensions icosaeédriques“
Letter to M. Gray, March 1978

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2012

Moonshine

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-420)

Ankündigung: (als pdf)

Das Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik und Technomathematik ab dem fünften Semester.

Ende der siebziger Jahre des vorigen Jahrhunderts wurden bemerkenswerte Koinzidenzen entdeckt, u. a.:

196884 = 196883 + 1

das Produkt der Primteiler von n (ohne Vielfachheiten).

Links steht der Koeffizient von q in der q-Entwicklung der j-Funktion, rechts steht 1 + Dimension der kleinsten nichttrivialen irreduziblen Darstellung der Monstergruppe (der größten unter den 26 sporadischen einfachen endlichen Gruppen). Spekulationen hierüber liefen unter dem Namen „moonshine“. Inzwischen ist einiges bewiesen, insbesondere durch R. E. Borcherds 1998.

Eine einfachere Version dieser Zusammenhänge hat man nach G. Mason 1985 für eine andere der sporadischen einfachen Gruppen, die MathieuGruppe M₂₄ der Ordnung

#M₂₄ = 2¹⁰ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040

Dazu gibt es die AB Thesis (artium baccalaureus) von J. Booher (Harvard, 2010), welche wir dem Seminar zu Grunde legen.

Grobeinteilung der Vortragsthemen:

• Darstellungen endlicher Gruppen (4V)
• Konstruktion der MathieuGruppe M₂₄ (4V)
• Modulformen (3V)
• Moonshine für M₂₄ (3V)

Vorkenntnisse:

Literatur:

J. Booher:

„The spirit of Moonshine. Connections between the Mathieu Groups and Modular Forms“
Harvard, 2010

R. Busam, E. Freitag:

„Funktionentheorie“
Springer, 4. Aufl. 2006

R. Griess:

„Twelve Sporadic Groups“
Springer, 1998

L. J. P. Kilford:

„Modular Forms“
Imperial College Press, 2008

S. Schlegel:

„Computeralgebra und Gruppentheorie“
Diplomarbeit, Universität Bremen, 2012

J.-P. Serre:

„Linear Representations of Finite Groups“
Springer, 1977

J.-P. Serre:

„A Course in Arithmetic“
Springer, 1996

R. A. Wilson:

„The Finite Simple Groups“
Springer, 2009

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2011/2012

Algebraische Dynamische Systeme

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-472)

Ankündigung: (als pdf)

Das Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik und Technomathematik ab dem fünften Semester.

Für uns wird ein Dynamisches System zunächst einfach gegeben sein durch eine Abbildung T: M → M einer Menge M in sich, bei der man sich für Fixpunkte oder allgemeiner periodischen Punkte x von T interessiert, d.h mit Tⁿ(x) = x. Unter diesem Gesichtspunkt kann man einige Faktorisierungsverfahren subsumieren.

Bei der Pollardschen „Rho-Methode“ z.B, mit der die Primfaktoren einer Zahl n=pq gefunden werden sollen, hat man M = Z/nZ, und T ist gegeben durch ein Polynom mit ganzen Koeffizienten. Mit einem Startwert x₀ bildet man die Folge x_i = Tⁱ(α₀) und erreicht schließlich einen Zyklus x_k, x_k+1, x_k+l = x_k.

Man berechnet daher die ggT(x_i-x_j, n) und hofft, dass die Periodizität schon mod p oder mod q auftritt, sodass der obige ggT dann ein echter Teiler von n ist. Die ersten Vorträge beziehen sich auf neuere Arbeiten zur Periodenlänge von x → x²+c über F_q oder Z/nZ mit n=pq.

Im weiteren Verlauf des Seminars behandeln wir einen Übersichtsartikel von H. Niederreiter und I. Shparlinski und skizzieren dann einen allgemeinen Rahmen der Theorie nach einem Buch von J. Silverman. Wenn Zeit bleibt, sehen wir uns auch Anwendungen in der diophantischen Analysis nach einem Kurs von M. Waldschmidt an.

Literatur:

J. H. Silverman (DOI):

„The Arithmetic of Dynamical Systems“
Springer, Berlin, 2007

Luis Hernández Encinas (BibTeX):

„Maximal period of orbits of the BBS generator“
In Proceedings of ICISC, 1998. S. 71-80

Raúl Durán Díaz, Alberto Peinado Domínguez (pdf):

„BBS generator using the function x² − 2 (mod n)

A. Peinado, F. Montoya, J. Muñoz, A. J. Yuste (DOI):

„Maximal Periods of x² + c in F_q“
in: Lecture Notes in Computer Science, 2227, p. 219-228

Harald Niederreiter, Igor E. Shparlinski (DOI):

„Dynamical Systems Generated by Rational Functions“
in: Lecture Notes in Computer Science, 2643, p. 606

Michel Waldschmidt (pdf):

„Introduction to Diophantine Methods“

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2011

Ein Algorithmus für das Diskrete Logarithmusproblem auf elliptischen Kurven über Erweiterungskörpern endlicher Körper F_q

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-472)

Ankündigung: (als pdf)

Im Sommersemester 2011 werden wir uns an Hand der Habilitationsschrift von C. Diem: „On arithmetic and the discrete logarithm problem in class groups of curves“ mit einem Algorithmus für das Diskrete Logarithmusproblem auf elliptischen Kurven über Erweiterungskörpern endlicher Körper F_q beschäftigen, der subexponentielle Laufzeit hat.

Das Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik und Technomathematik ab dem fünften Semester.

Der Algorithmus ordnet sich in den allgemeinen Rahmen der „Index-Kalkül-Methode“ ein, wir beginnen daher mit grundsätzlichen Bemerkungen zu dieser Methode und dem Resultat, dass man damit das Diskrete Logarithmusproblem in F^*_p in subexponentieller Laufzeit lösen kann.
Im weiteren Verlauf des Seminars folgen wir im Wesentlichen dem Abschnitt 3.5 der Schrift von C. Diem. Die dafür nötigen Kenntnisse über elliptische Kurven und aus der Algebraischen Geometrie werden ohne Beweise hingenommen.

Literatur:

Diem, Claus (pdf):

„On arithmetic and the discrete logarithm problem in class groups of curves“
Habilitationsschrift an der Universität Leipzig (2008)

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2010/11

Faktorisierung und diskreter Logarithmus

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-468)

Ankündigung: (als pdf)

Im Wintersemester 2010/11 werden wir uns mit Faktorisierung und dem diskreten Logarithmus beschäftigen.

Das Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik und Technomathematik ab dem fünften Semester. Behandelt werden Lösungsansätze für zwei zahlentheoretische Probleme, auf deren Schwierigkeit wichtige kryptographische Protokolle beruhen.

Interessenten/innen können sich vorab in Stud.IP unverbindlich für das Seminar anmelden.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2010

Die ABC-Vermutung

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung: (als pdf)

Im Sommersemester 2010 werden wir uns mit den elementaren und weniger elementaren Aspekten der ABC-Vermutung beschäftigen.

Die vermutete Aussage ist:

Zu jedem ε>0 existiert eine Konstante K_ε, so daß für teilerfremde ganze Zahlen a,b,c≠0 mit a+b+c=0 gilt:

max(|a|,|b|,|c|) ≤ K_ε rad^1+ε (abc).

Dabei ist allgemein für ganze Zahlen n≠0:

rad(n) = ∏_p|np

Die Vermutung entstand 1985 bei Diskussionen von Masser und Oesterlé anläßlich eines Vortrages im Séminaire Bourbaki über den (damals noch unbewiesenen) „großen Satz von Fermat“. Sie hat weitreichende Konsequenzen in der Diophantischen Geometrie der elliptischen Kurven und abelschen Varietäten, aber es gibt auch eine Fülle elementarer Anwendungen, vgl. den betreffenden Wikipedia-Artikel.

Ein ausfürlicher Vortragsplan inkl. Literaturangaben ist von H. Özoguz ausgearbeitet worden und kann hier geladen werden.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2009/10

Die Pellsche Gleichung

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung: (als pdf)

Im Wintersemester 2009/2010 wollen wir uns mit der Pellschen Gleichung beschäftigen. Dazu werden wir das Buch von M. Jacobson und H. C. Williams (s. u.) zugrundelegen (Kapitelangaben beziehen sich auf dieses Buch).

Die Gleichung

T² − DU² = 1,

wobei D ∈ N kein Quadrat ist, wurde von L. Euler fälschlich J. Pell zugeschrieben und wird seitdem Pellsche Gleichung genannt. Sie trat allerdings schon in der Antike, bei Archimedes z.B., auf und wurde auch in der Indischen Mathematik des 7. Jahrhunderts erfolgreich behandelt.

Man sucht ganzzahlige Lösungen (T,U) der Gleichung, o.E. nichttrivial, d.h. mit U ≠ 0, und kann sich auf T,U>0 beschränken. Solche Lösungen existieren stets, und ist (t,u) die Lösung mit t+u√D minimal, so gilt für die betrachteten Lösungen (T,U):

T + U√D = (t + u√D)ⁿ

mit n>0. Daher heißt (t,u) FundamentalLösung der Pellschen Gleichung.

Die effektive Bestimmung der FundamentalLösung ist allerdings ein Problem: bei D=1621 z.B. ist t eine Zahl mit 76 Dezimalstellen. Hier hat man anfangs mit Kettenbrüchen gearbeitet, bessere Algorithmen gibt es erst seit 20 Jahren (H.W. Lenstra, J. Buchmann et al). Dabei geht einiges über den reellquadratischen Zahlkörper Q(√D) ein.

Diese neueren Ergebnisse werden dargestellt in:

Michael J. Jacobson, Jr., Hugh C. Williams (DOI):

„Solving the Pell Equation“
Series: CMS Books in Mathematics
Springer, Berlin, 2009,
ISBN: 978-0-387-84922-5

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2009

Primzahltests

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung: (als pdf)

Im SS 09 wollen wir verschiedene Primzahltests behandeln.

Die Verfahren zur Primzahlerkennung sind mittlerweile so weit entwickelt worden, daß es eine Routineaufgabe ist, bei Zahlen von einigen tausend Dezimalstellen den Nachweis zu führen, daß sie Primzahlen sind.
Von besonderem theoretischen Interesse ist dabei das Resultat einer Gruppe indischer Wissenschaftler (M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena: „Primes is in P“), die zum ersten Mal einen Primzahltest vorstellten, dessen Laufzeit polynomial ist:

Die Behandlung einer Zahl n erfordert eine Laufzeit von höchstens (log n)^12+o(1).

Natürlich gibt es inzwischen eine ganze Reihe von Verbesserungen, zuletzt: J.-M. Couveignes, T. Ezome, R. Lercier: „Elliptic Periods and Primality Proving“.

Im SS 09 werden wir uns zunächst orientieren an R. Schoof: „Four primality testing algorithms“ und dann den o. g. Artikel von Couveignes et al. studieren, unter wesentlicher Benutzung von J.-M. Couveignes, R. Lercier: „Elliptic periods for finite fields“.

Literatur:

M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena (pdf):

„Primes is in P“
Annals of Mathematics 160 (2004), 781-793

R. Schoof (pdf):

„Four primality testing algorithms“
in: Algorithmic Number Theory,
MSRI Publications 44,
Cambridge University Press, Cambridge, 2008, S. 101-126

S. V. Konyagin, C. Pomerance (pdf):

„On primes recognizable in deterministic polynomial time“
in: The Mathematics of Paul Erdös I,
R. L. Graham and J. Nešetřil, eds.
Algorithms and Combinatorics 13,
Springer, Berlin, 1997, S. 176-198

E. Bach (pdf):

„Explicit Bounds for Primality Testing and Related Problems“
Mathematics of Computation, Vol. 55, No. 191 (1990), 355-380

J.-M. Couveignes, T. Ezome, R. Lercier (pdf):

„Elliptic Periods and Primality Proving“
arXiv: 0810.2853

J.-M. Couveignes, R. Lercier (DOI):

„Elliptic periods for finite fields“
Finite Fields and Their Applications 15 (2009), 1-22

J. Vélu (pdf):

„Courbes elliptiques munies d'un sous-groupe Z/nZ × μ_n“
Mémoires de la Société Mathématique de France 57 (1978), 1-152

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2008/09

Die Catalansche Vermutung

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung (als pdf):

Im WS 08/09 wollen wir an Hand eines neuen Buches von R. Schoof (s. u.) die Catalansche Vermutung behandeln.

Die Vermutung besagt, daß 8 und 9 ein ganz besonders Zahlenpaar bilden: 9 = 3² und 8 = 2³ mit 9 − 8 = 1 ist die einzige Lösung in natürlichen Zahlen ≠ 0 der Gleichung

x^m − yⁿ = 1,

wobei die Exponenten m und n natürliche Zahlen > 1 sind. Die Vermutung wurde von E. Catalan in einem Brief formuliert und 1844 veröffentlicht, bewiesen wurde sie schließlich 2002 von P. Mihăilescu.

Es gibt eine Reihe von Spezialfällen, die mit relativ elementaren Methoden vor dem endgültigen Beweis behandelt wurden:

1976 erzielte R. Tijdemann ein spektakuläres Resultat, indem er bewies, daß die Catalansche Gleichung nur endlich viele Lösungen hat – die dabei gewonnene Schranke war jedoch viel zu groß für eine Durchmusterung der verbleibenden Kandidaten.

Der Beweis von Mihăailescu verwendet dann ganz andere Methoden, nämlich Resultate aus der Arithmetik der KreisTheilungskörper.

Literatur:

Catalan, E. (pdf):

„Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur“
Crelle 27 (1844)

Mihăilescu, P. (pdf):

„Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture“
Crelle 572 (2004), S. 167-195

Washington, Lawrence C.:

„Introduction to Cyclotomic Fields“
Graduate Texts in Mathematics, Vol. 83
Springer-Verlag, New York, 1997

Ergänzende Literatur:

Bilu, Y. (pdf):

„Catalan's Conjecture“
Séminaire Bourbaki 909 (2002/2003)

Daems, J. (pdf):

„A cyclotomic proof of Catalan's conjecture“
Master Thesis, Leiden 2003

Frey, G.:

„Der Satz von Preda Mihăilescu: Die Vermutung von Catalan ist richtig!“
DMV-Mitteilungen 4 (2002)

Metsänkylä, T. (pdf):

„Catalan's Conjecture: Another old Diophantine Problem solved“
Bull. AMS 41 (2004), S. 43-57

Schoof, René:

„Catalan's Conjecture“, Reihe: Universitext
Springer-Verlag, New York, November 2008

Simonson, S. (pdf):

„The Mathematics of Levi ben Gershon, the Ralbag“
Dpt. of Math and Comp. Sc., Stonehill College, North Easton, MA.

Neukirch, J. (DOI):

„Algebraische Zahlentheorie“
Springer-Verlag, New York, 2006

Samuel, P.:

„Algebraic Theory of Numbers“
Dover Pub., Dover, 2008

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2008

Mathematische Aspekte der ComputerAlgebra

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung (als pdf):

In diesem Semester (SS 08) wollen wir uns mit einigen mathematischen Aspekten der ComputerAlgebra beschäftigen. Wir orientieren uns dabei an:

Cohen, Arjeh M.; Cuypers, Hans; Sterk, Hans (Eds.):

„Some Tapas of Computer Algebra“
Springer-Verlag, New York, 1999

Die im folgenden angegebenen Kapitel beziehen sich auf dieses Buch.

Bei dem Buch handelt sich um eine Sammlung von Artikeln und „Projekten“, die aus dem Material zu 2 Minikursen in Eindhoven hervorgegangen sind. Man findet dort Grundlegendes zu GröbnerBasen, GitterReduktion und Polynomfaktorisierung, aber auch Kapitel über:

• Symbolisches Lösen von reellen Polynomgleichungen,
• Symbolisches Lösen von linearen Differentialgleichungen,
• Anwendungen der GröbnerBasen in der Codierungstheorie,
• Anwendungen der GröbnerBasen auf ganzzahliges Programmieren,
• Computeralgebraischer Umgang mit Algebren oder endlichen Gruppen.

Die Themen hängen nur lose miteinander zusammen, die Reihenfolge der Vorträge kann nach den Wünschen der Teilnehmer eingerichtet werden. In jedem Vortrag sollte auch demonstriert werden, wie man die vorgestellten Algorithmen effektiv auf dem Computer einsetzen kann.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2007/08

Einführung in verschiedene Themenbereiche

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung (als pdf):

Im WS 07/08 wollen wir Einblicke in 3 ThemenBereiche geben, die für unsere WE von Bedeutung sind: Endliche Körper, CodierungsTheorie, Gröbner Basics. Gedacht ist an jeweils 4-5 Vorträge, in denen relativ leicht zugängliche Tatsachen vorgestellt werden.

Endliche Körper (M. Hortmann: michaelh@informatik.uni-bremen.de)

Endliche Körper sind Grundbausteine der Kryptographie und CodierungsTheorie. Sie entstehen ganz einfach als Restklassenringe von Z bzgl. einer Primzahl bzw. von F[X] bzgl. eines irreduziblen Polynoms (wobei F schon ein endlicher Körper ist) und bieten eine schöne und reichhaltige Theorie.

Behandelt werden können: Struktur der multiplikativen Gruppe, Anzahl und Konstruktion irreduzibler Polynome, Nullstellen und Faktorisierung von Polynomen, Konstruktion und Eigenschaften von Normalbasen.

CodierungsTheorie (E. Oeljeklaus: oel@math.uni-bremen.de)

Die CodierungsTheorie beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse von Codes, die einen effizienten und verlässlichen Datentransfer über nicht störungsfreie elektronische Kanäle ermöglichen. Eine wesentliche Aufgabe der Theorie besteht darin, Verfahren zu entwickeln, mit denen fehlerhaft übertragene Daten korrigiert werden können. Die theoretischen und technischen Möglichkeiten der CodierungsTheorie sind heute so weit entwickelt, dass z.B. ein guter CD-Player etwa 4000 in Folge zerstörte Audiobits rekonstruieren kann, ohne dass der Fehler auf der CD vom menschlichen Ohr wahrnehmbar ist.

Im Seminar wollen wir uns mit einigen interessanten theoretischen Fragestellungen der CodierungsTheorie beschäftigen, deren Lösung im Rahmen eines Seminarvortrages dargestellt werden kann.

Gröbner Basics (J. Gamst: gamst@math.uni-bremen.de)

GröbnerBasen sind besonders nützliche Erzeugendensysteme von Polynomidealen a in K[X1 , . . . , Xn ]. Der Umgang mit ihnen erfordert den Einsatz von Computern. Sie sind deswegen populär geworden, weil man mit Hilfe von GröbnerBasen viele Aufgaben der Idealtheorie algorithmisch lösen kann: Bestimmen von Basen für Restklassenringe K[X1 , . . . , Xn ]/a, Erzeugung des Durchschnittes zweier Ideale, Eliminationstheorie.

Im Seminar sollen zunächst die Definition, Charakterisierung und Herstellung von GröbnerBasen behandelt werden, dann vor allem die Anwendung in der Eliminationstheorie.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2007

Kryptographische Anwendungen elliptischer Kurven

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-412)

Ankündigung (als pdf):

Im SS 07 werden wir die im letzten Semester erworbenen Kenntnisse benutzen, um zu sehen, wie man elliptische Kurven in der Kryptographie und für zahlentheoretische Algorithmen einsetzen kann. Unsere Grundlage ist weiterhin:

Washington, L:

„Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography“
Chapman&Hall/CRC, Boca Raton, 2003

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2006/07

Kryptographische Anwendungen elliptischer Kurven

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-404)

Ankündigung:

Im WS 06/07 werden wir - für eine neue Generation von Studenten - behandeln, wie man mit elliptischen Kurven über endlichen Körpern kryptographisch relevante Algorithmen erhält. Zu Grunde legen wir:

Washington, L:

„Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography“
Chapman&Hall/CRC, Boca Raton, 2003

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2006

Elliptische Funktionen und Modulformen

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-310)

Ankündigung:

Elliptische Kurven werden klassifiziert durch Punkte der oberen Halbebene H modulo der Aktion der Modulgruppe  Γ = SL₂(Z). Dabei gilt: der Quotient

Y(Γ) = H / SL₂(Z)

trägt die Struktur einer Riemannschen Fläche, und diese kann durch Hinzunahme einer „Spitze“ (die dem Punkt i∞ bei H entspricht) zur Kurve X(Γ), die isomorph zu P¹(C) ist, kompaktifiziert werden.

Ähnliche Verhältnisse hat man, wenn man elliptische Kurven mit Zusatzstruktur betrachtet, etwa mit einer ausgewählten zyklischen Untergruppe der Ordnung N. Hierzu gehört auf der oberen Halbebene die Untergruppe

Γ₀(N) = { (a,b,c,d) ∈ SL₂(Z) : c ≡ 0 mod N }

von Γ, und wenn man erhält durch Kompaktifizieren mit endlich vielen Spitzen aus der Riemannschen Fläche

Y(Γ₀(N) ) = H / Γ₀(N)

die Modulkurve X(Γ₀(N)), welche i.a. nicht einfach zu P¹(C) isomorph ist, sondern Geschlecht g ungleich 0 hat.

Nach Konstruktion hat man eine Überlagerungsabbildung

X(Γ₀)  →  X(Γ) = P¹(C)

Damit lässt sich das Geschlecht der Modulkurve bestimmen. Der Satz von Riemann-Roch für kompakte Riemannsche Flächen liefert dann Dimensionsformeln für Vektorräume von Modulformen zu Γ₀(N).

Gegenstand des Seminars sind diese Zusammenhänge, allgemein für Kongruenzuntergruppen von Γ: nach Definition sollen diese

Γ(N) = Ker ( SL₂(Z)  → SL₂(Z/NZ) )

erhalten.

Literatur:

Diamond, Fred und Jerry Shurman:

„A first course in modular forms“
Springer-Verlag, New York, 2005

Freitag, Eberhard und Rolf Busam:

„Funktionentheorie“
Springer-Verlag, Berlin, 1993

Koecher, M. und A. Krieg:

„Elliptische Funktionen und Modulformen“
Springer, Berlin, 1998

Serre, J.-P.:

„A course in Arithmetic“
Springer, New York, 1973

Shimura, G.:

„Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions“
Princeton University Press, 1971

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2005/06

Elliptische Funktionen und Modulformen

Do 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-304)

Ankündigung:

Elliptische Funktionen tragen ihren Namen, weil bei der Berechung der Bogenlänge von Ellipsen Integrale der Form

auftreten: deren Umkehrfunktionen geben Anlaß zu doppelt periodischen, meromorphen Funktionen (eben den elliptischen Funktionen), welche der Differentialgleichung (y')² = (y - e₁)(y - e₂)(y - e₃) genügen und so eine Parametrisierung (y(z), y'(z)) der komplexen Punkte der dann elliptisch genannten Kurve

(E)  Y² = (X - e₁)(X - e₂) (X - e₃)

liefern. Andererseits können die Perioden einer elliptischen Funktion als Gitter

=

mit einem aus der oberen Halbebene beschrieben werden, so daß die komplexen Punkte von (E) auch als Quotient

E = /

gewonnen werden können. Nun hat man:

daher sind die elliptischen Kurven klassifiziert durch die elliptische Modulfunktion

j:

Allgemeiner betrachtet man Quotienten von nach gewissen Untergruppen von und versteht unter Modulformen Differentialformen auf den zugehörigen Modulkurven. Hier entsteht eine reichhaltige Welt mit einer Vielzahl von expliziten Formeln und überraschenden Beziehungen zu Arithmetik und Geometrie. Das alles findet seinen spektakulärsten Ausdruck im „Modularity Theorem“ (vormals: Vermutung von Taniyama, Shimura und Weil), welches 2001 schließlich vollständig bewiesen wurde. Im Seminar werden wir zunächst die Grundbegriffe im Stil einer „Funktionentheorie II“ erarbeiten und dann versuchen, eine der Fassungen des Modularity Theorems zu verstehen.

Literatur:

F. Diamond, J.Shurman:

„A first course in modular forms“
Springer, New York etc., 2005

R. Busam, E. Freitag:

„Funktionentheorie“
Springer, Berlin etc., 1993

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2005

InvariantenTheorie

Fr 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-308)

Ankündigung:

Im SS 05 setzen wir die Beschäftigung mit algorithmischer Invariantentheorie fort: zunächst für endliche Gruppen, dann für reduktive Gruppen wie GL(n) oder SL(n).
Vorausgesetzt und benutzt werden nur Kenntnisse über GröbnerBasen, dazu können die betreffenden Vortragsausarbeitungen aus dem WS konsultiert werden.

E5, E6 sind optional und Beginn größerer Projekte.
R4, R5 sind ebenfalls optional: kurze Blicke auf klassische Welten ...

Vortragsausarbeitungen WS 04/05:

J. Gamst:

GröbnerBasen und DivisionsAlgorithmus
Raison d'être der Gröbnerbasen

M. Albrecht:

BuchbergerKriterium

J. Vogelsang:

BuchbergerAlgorithmus

R. Donau:

Vorbereitungen zur algorithmischen Bestimmung der Hironaka Zerlegung

Literatur:

D. Cox, J. Little, D. O'Shea:

„Ideals, Varieties, and Algorithms“
Springer, New York etc., 1992

D. Benson:

„Polynomial Invariants of Finite Groups“
Cambridge University Press, 1993

H. Derksen:

„Computation of Invariants for Reductive Groups“
Adv. in Math 141 (1999), 366-384

H. Derksen, G. Kemper:

„Computational Invariant Theory“
Springer, New York etc., 2002

K. Geißer, J. Klüners:

„Galois group computation for rational polynomials“
J. Symb. Comp. 30 (2000), 653-674

G. Kemper:

„Computational Invariant Theory“
Queen's Papers in Pure and App. Math. 114 (1998), 5-26

V. Popov, E. Vinberg:

„Invariant Theory“
Encyc. of Math. Sciences 55; Springer, New York etc., 1994

D. Saltman:

„Groups acting on fields: Noether's problem“
Contemp. Math. 43 (1985), 267-277

B. Sturmfels:

„Algorithms in Invariant Theory“
Springer, Wien, 1993.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2004/05

Algorithmen in der Invariantentheorie

Fr 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-306)

In diesem Semester befassen wir uns mit Algorithmen in der Invariantentheorie, hauptsächlich nach:

B. Sturmfels:

„Algorithms in Invariant Theory“

D. Cox, J. Little, O. Shea:

„Ideals, Varieties and Algorithms“

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2004

Algebraische Kurven

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-304)

Im SoSe 04 wollen wir uns die Theorie Algebraischer Kurven, insbesondere über einem endlichen Grundkörper, aneignen. Dabei haben wir uns festgelegt auf das Lehrbuch

W. Lütkebohmert:

„Codierungstheorie“, Vieweg 2003

Bei der Multiplizität und der Schnittzahl sowie der Desingularisierung bietet es sich auch an, das ComputerSystem SINGULAR kennenzulernen. Das wird am besten in begleitenden Übungen geschehen.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2003/04

Kryptoanalyse

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-302)

Wir beginnen mit drei Vorträgen über Torische Codes, zu denen wir im Sommersemester nicht mehr gekommen sind:

Dabei werden die im Sommersemester erworbenen Kenntnisse über Torische Varietäten vertieft und auf den Fall eines endlichen Grundköpers übertragen.

Ab November wenden wir uns dann einem neuen Thema zu: Kryptoanalyse. Hier interessiert uns zunächst die Analyse der Hashfunktion MD4 durch H. Dobbertin, vgl.

H. Dobbertin:

„Cryptanalysis of MD4“
Lecture Notes of Comp. Sc. 1039, p. 53-59.

H. Dobbertin:

„Cryptanalysis of MD4“
J. of Cryptology 11 (1998), p. 253-271

Anschließend möchten wir uns algebraischen Strukturen zuwenden, die bei der Analyse moderner Blockchiffrieralgorithmen entdeckt wurden. Insbesondere würde die Lösbarkeit großer quadratischer Gleichungssysteme den neuen Standard AES entscheidend schwächen.

S. Murphy, M. J. B. Robshaw:

„Essential Algebraic Struktures within the AES“
Lect. Notes of Comp. Sc. 2442, p. 1-16.

Literatur findet man auch hier.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2003

Torische Varietäten und torische Codes

Di 8:30-10:00 in MZH 7200

(VAK: 03-302)

In diesem Semester beschäftigen wir uns mit torischen Varietäten und torischen Codes über endlichen Körpern. Hierzu orientieren wir uns an:

D. A. Cox:

„Tutorial on Toric Varieties“
Workshop on Alg. Geometry and Geom. Modeling, Vilnius, July 30th 2002.

D. Joyner:

„Toric Codes over Finite Fields“
Preprint, 21.August 2002.

L. Kaup:

„Vorlesungen über Torische Varietäten“
Konstanzer Schriften in Math. und Inf. (130), Oktober 2000.

Bei den Vorträgen am 10./17./24. Juni müssen wir die Standard-Literatur zu Hilfe nehmen:

W. Fulton:

„Introduction to Toric Varieties“
Annals of Math.Studies (131), Princeton Univ. Press 1993.

T. Oda:

„Convex Bodies and Algebraic Geometry“
Erg. der Math.(15), Springer 1985.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2002/03

Primzahlen und Faktorisierung ganzer Zahlen

Di 10:00-12:00 in MZH 7200

(VAK: 03-302)

Ankündigung:

Primzahlen und Faktorisierung ganzer Zahlen - das sind zwei der ältesten Themen in der Mathematik. Nach dem Vorbild von D. Knuth ist es üblich, hier Gauß zu zitieren:

Problema, numeros primos a compositis dignoscendi, hosque in factores suos primos resolvendi, ad gravissima ac utilissima totius arithmeticae pertinere, et geometrarum tum veterum tum recentiorum industriam ac sagacitatem occupavisse, tam notum est, ut de hac re copiose loqui superfluum foret.

Dass die Aufgabe, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfactoren zu zerlegen, zu den wichtigsten und nützlichsten der gesamten Arithmetik gehört und die Bemühungen und den Scharfsinn sowohl der alten wie auch der neueren Geometer in Anspruch genommen hat, ist so bekannt, dass es überflüssig wäre, hierüber viele Worte zu verlieren.

(Artikel 329 in den Disquisitiones Arithmeticae).

Im Zeitalter der Computer haben diese Fragen eine neue Dringlichkeit erhalten: für kryptographische Zwecke werden große Primzahlen benötigt, und die Sicherheit des RSA-Verfahrens beruht darauf, daß die Faktorisierung großer Zahlen einen Aufwand erfordert, den die gegenwärtigen Hilfsmittel nicht leisten können.

Schon der Nachweis, daß eine Zahl mit etwa 500 Dezimalstellen eine Primzahl ist, führt auf nichttriviale Probleme, bei denen es immer wieder neue Entwicklungen gibt, so zuletzt durch eine Gruppe indischer Wissenschaftler:

M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena:

„Primes is in P“
6. Aug. 2002.

Im WS wollen wir eine Einführung in den Themenkreis geben, bei der zunächst noch keine besonderen Vorkenntnisse vorausgesetzt werden.

• Primzahltests nach Lucas, Proth und Pocklington, insbesondere für Mersenne- und Fermatzahlen, aber auch das neue Verfahren aus Indien.
• Faktorisierung bei den Pionieren im 19. Jahrhundert, bis hin zur Kettenbruchmethode von Brillhart und Morrison 1975.

Funktionentheoretische Hilfsmittel werden benötigt, um Methoden zur Nullstellenbestimmung bei der Riemannschen ZetaFunktion zu verstehen - dabei wollen wir auch die Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Beschreibung der Primzahlverteilung diskutieren.

Literatur:

E. Bombieri:

„Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis“
Publ. of the Clay Institute.

R. Crandall, C. Pomerance:

„Prime Numbers. A Computational Perspective“
Springer-Verlag 2001.

M. Morrison, J. Brillhart:

„A method of factoring and the factorization of F₇“
Math. of Comp. (29), 1975.

G. Nebe:

„Faktorisieren ganzer Zahlen“
Jahresb. DMV (102) 2000.

A. Odlyzko:

„Analytic Computations in Number Theory“
in Proc. Symp. Appl. Math. (48) 1994.

H. C. Williams, J. O. Shallit:

„Factoring Integers before Computers“
in Proc. Symp. Appl. Math. (48) 1994.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2002

Algorithmische Zahlentheorie

Di 8:30-10:00 in MZH 6115

(VAK: 03-303)

In diesem Semester setzen wir die Beschäftigung mit der algorithmischen Zahlentheorie fort, weiterhin im wesentlichen nach

H. Cohen:

„A Course in Computational Algebraic Numer Theory“
Springer 1993.

Aus dem Wintersemester benutzen wir, neben dem Weltbild der Algebraischen Zahlentheorie, die Grundtatsachen über Hermitesche Normalformen, GitterbasisReduktion und Bestimmung der maximalen Ordnung nach Zassenhaus.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2001/02

Algorithmische Zahlentheorie

Di 8:30-10:00 in MZH 6115

(VAK: 03-302)

In den letzten Jahrzehnten hat es große Fortschritte bei der algorithmischen Behandlung von Fragen der Zahlentheorie gegeben, von der Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten über die Bestimmung der maximalen Ordnung in Zahlkörpern bis zu erstaunlich expliziten Berechnungen in der Klassenkörpertheorie. Die Bibel hierfür sind die beiden Werke von H. Cohen:

H. Cohen:

„A Course in Computational Algebraic Numer Theory“
Springer 1993.

H. Cohen:

„Advanced Topics in Computational Number Theory“
Springer 2000.

Im kommenden Semester werden wir zunächst ausgewählte Themen aus dem ersten der beiden Bücher behandeln.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2001

QuantenComputerAlgorithmen

Di 8:30-10:00 in MZH 6115

(VAK: 03-311)

Seit den achtziger Jahren des vorigen Jahrhunderts wird diskutiert, ob man nicht Computer kontruieren könne, deren Arbeitsweise auf quantenmechanischen Prinzipien beruht: eben QuantenComputer.
Ihre Dringlichkeit erhielt die Frage, als P. Shor 1994 einen Algorithmus vorstellte, mit dem auf einem QuantenComputer ganze Zahlen in polynomialer Zeit in Faktoren zerlegt werden können -- damit wäre ein großer Teil der Verfahren in der public-key-Kryptographie hinfällig.
Wir legen zu Grunde:

A. O. Pittenger:

„An Introduction to Quantum Computing Algorithms“
Birkhäuser, Bosten etc, 2000.

J. Preskill:

„Quantum Computation“
Lecture Notes for Physics 219/Computer Science 219 at Caltech,
http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph219/

und zusätzlich Artikel (s.u.)

Hier gibt es ein wenig Literatur (postscript) zum herunterladen:

• H. E. Brandt: „Quantum Devices“
• D. Gottesmann: „An Introduction to Quantum Error Correction“
• S. J. Lomonaco: „A Rosetta Stone for Quantum Mechanics and an Introduction to Quantum Computation“
• J. Preskill: „Quantum Computation“, Chapter 1-6, Chapter 7
• J. Preskill: „Quantum Computing: Pro and Con“
• P. Shor: „Introduction to Quantum Algorithms“
• U. Vazirani: „Quantum Complexity Theory“

Eine Liste dieser und weiterer Artikel findet man auf der Seite:
http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph219/

Eine Liste von Quanten Computer Simulatoren gibt es auf der Seite:
http://www.dcs.ex.ac.uk/~jwallace/simtable.htm

Außerdem noch eine Liste einiger Artikel, die man sich bei „Physikal Review Online Archive“ als PDF-Dokument herunterladen kann (der link führt zunächst zu einem abstract des entsprechenden Artikels):

• V. Vedral, A. Barenco and A. Ekert: „Quantum networks for elementary arithmetic operations“
• R. B. Griffiths and C. Niu: „Semiclassical Fourier Transform for Quantum Computation“
• A. Ekert and R. Jozsa: „Quantum computation and Shor's factoring algorithm“

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 2000/01

Kryptographisch relevante Algorithmen für elliptische Kurven

Fr 8:00-10:00 ct in MZH 6115

(VAK: 03-300)

In diesem Semester führen wir das Studium kryptographisch relevanter Algorithmen für elliptische Kurven fort, dabei geht es vor allem um den Schoof-Algorithmus zur Berechnung der GruppenOrdnung. Es wird weiterhin zu Grunde gelegt:

I. Blake et al.:

„Elliptic Curves in Cryptography“
Cambridge Univ. Press 1999.

und zusätzlich der Überblicksartikel

R. Schoof:

„Counting Points on Elliptic Curves over Finite Fields“
J. Th. des Nombres Bordeaux 7, 219-254, 1995.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 2000

Kryptographisch relevante Algorithmen für elliptische Kurven

Fr 8:00-10:00 ct in MZH 6115

(VAK: 03-431)

In diesem Semester geht es um kryptographisch relevante Algorithmen für elliptische Kurven. Grundlegende Resultate wie die Hasse-Abschätzung werden wir einfach zur Kenntnis nehmen, um dann vor allem den Schoof-Algorithmus zur Berechnung der GruppenOrdnung zu studieren. Die zu Grunde gelegte Literatur:

I. Blake et al.:

„Elliptic Curves in Cryptography“
Cambridge Univ. Press 1999.

Es reichen Vorkenntnisse in Algebra im Umfang der Veranstaltungen zum Vordiplom.

Seminar der WE AlZAGK im WiSe 1999/2000

Codierungstheorie

Fr 8:00-10:00 ct in MZH 6115

(VAK: 03-449)

In diesem Semester befassen wir uns mit Codierungstheorie, zunächst an Hand des Buches:

J.H. van Lint:

„Introduction to Coding Theory“
Springer 1989.

Es reichen Vorkenntnisse in Stochastik und Algebra im Umfang der Veranstaltungen zum Vordiplom.

Seminar der WE AlZAGK im SoSe 1999

Grundlagen der Kryptologie

Fr 8:00-10:00 ct in MZH 6115

(VAK: 03-449)

In diesem Semester befassen wir uns mit Grundlagen der Kryptologie: